বাস্তব সংখ্যাঃ-Class 10 math Chapter One
বাস্তব সংখ্যাঃ স্বাভাবিক, ভগ্নাংশ, মূলদ, অমূলদ ও দশমিক সংখ্যাঃ
১. নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?
২. a, b, c, d চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা হলে নিচের কোনটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা?
উত্তরঃ গ
৩. 1 থেকে 10 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা কয়টি?
উত্তরঃ খ
৪. কোনটি সকল পূর্নসংখ্যার সেট?
(গ) {…, -3, -1, 0,1, 3, …} (ঘ) {0, 1, 2, 3, 4}
উত্তরঃ খ
৫. বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে
(i). বিজোড় সংখ্যার বর্গ একটি বিজোড় সংখ্যা।
(iii). পূর্ণবর্গ নয় এমন সংখ্যার বর্গমূল মূলদ সংখ্যা।
নিচের কোনটি সঠিক?
(গ) ii ও iii (ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ ক
৬. তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল সর্বদাই নিচের কোন সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হবে?
উত্তরঃ খ
৭. a ও b দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি বিজোড় সংখ্যা?
উত্তরঃ গ
৮. a ও b দুইটি পূর্ণসংখ্যা হলে a2+b2 এর সাথে নিচের কোনটি যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
উত্তরঃ গ
৯. প্রমান কর যে, প্রতিটি সংখ্যা অমূলদঃ (ক) √ 5 (খ) √ 7 (গ) √10
সমাধানঃ
আমরা জানি,
1<5<9
বা, √1<√5<√9
বা, 1<√5<3
সুতরাং, √5 এর মান 1 অপেক্ষা বড় এবং 3 অপেক্ষা ছোট।
অতএব, √5 পূর্ণসংখ্যা নয়।
তাহলে, √5 মূলদ বা অমূলদ সংখ্যা হতে পারে।
যদি √5 মূলদ সংখ্যা হয় তবে,
মনে করি, √5=p/q [ যেখানে p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা এবং q>1]
বা, 5=p2/q2 [বর্গ করে]
বা, 5q=p2/q [উভয় পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে]
স্পষ্টতঃ 5q পূর্ণ সংখ্যা কিন্তু p2/q পূর্ণসংখ্যা নয়; কারন p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং q>1.
তাহলে, 5q≠p2/q.
বা, 5≠p2/q2
বা, √5≠p/q
∴√5 একটি অমূলদ সংখ্যা।
(খ)√ 7
1<7<9
বা, √1<√7<√9
বা, 1<√7<3
সুতরাং, √7 এর মান 1 অপেক্ষা বড় এবং 3 অপেক্ষা ছোট।
অতএব, √7 পূর্ণসংখ্যা নয়।
তাহলে, √7 মূলদ বা অমূলদ সংখ্যা হতে পারে।
যদি √5 মূলদ সংখ্যা হয় তবে,
মনে করি, √7=p/q [ যেখানে p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা এবং q>1]
বা, 7=p2/q2 [বর্গ করে]
বা, 7q=p2/q [উভয় পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে]
স্পষ্টতঃ 7q পূর্ণ সংখ্যা কিন্তু p2/q পূর্ণসংখ্যা নয়; কারন p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং q>1.
তাহলে, 7q≠p2/q.
বা, 7≠p2/q2
বা, √7≠p/q
∴√7 একটি অমূলদ সংখ্যা।
(গ)√ 10
1<10<16
বা, √1<√10<√16
বা, 1<√10<4
সুতরাং, √10 এর মান 1 অপেক্ষা বড় এবং 4 অপেক্ষা ছোট।
অতএব, √10 পূর্ণসংখ্যা নয়।
তাহলে, √10 মূলদ বা অমূলদ সংখ্যা হতে পারে।
যদি √10 মূলদ সংখ্যা হয় তবে,
মনে করি, √10=p/q [ যেখানে p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা এবং q>1]
বা, 7=p2/q2 [বর্গ করে]
বা, 10q=p2/q [উভয় পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে]
স্পষ্টতঃ 10q পূর্ণ সংখ্যা কিন্তু p2/q পূর্ণসংখ্যা নয়; কারন p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং q>1.
তাহলে, 10q≠p2/q.
বা, 10≠p2/q2
বা, √10≠p/q
∴√10 একটি অমূলদ সংখ্যা।
১০.
সমাধানঃ
একটি সংখ্যা a=0.301001000100001……………..
এবং অপর সংখ্যা b=0.302002000200002……….
স্পষ্টতঃ a ও b উভয়ই দুইটি বাস্তব সংখ্যা এবং উভয় 0.31 অপেক্ষা ছোট এবং 0.12 অপেক্ষা বড়।
অর্থাৎ, 0.31>0.3010010001………>0.12
এবং, 0.31>0.3020020002………..>0.12
আবার, a ও b কে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না।
a ও b, 0.31 এবং 0.12 এর মাঝখানে অবস্থিত।
∴ a ও b দুইটি নির্ণেয় অমূলদ সংখ্যা।
খ) 1/√2 এবং √2 এর মধ্যে একটি মূলদ ও একটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
1/√2=0.707106
√2=1.4142
∴ 0.707106 ও 1.4142 এর মাঝখানে একটি মূলদ সংখ্যা a=0.70717071
∴ 0.707106 ও 1.4142 এর মাঝখানে একটি মূলদ সংখ্যা b=1.4141010010001……
১১.
সমাধানঃ
∴ (2a-1)2
=(2a)2-2.2a.1+12
=4a2- 4a+1
=4a(a-1)+1
আমরা জানি,
যেকোনো পূর্ণসংখ্যাকে জোড় সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে গুণফলও জোড় সংখ্যা হয়।
∴ 4a(a-1) একটি জোড় সংখ্যা [∴4 একটি জোড় সংখ্যা]
তাহলে, 4a(a-1)+1 একটি বিজোড় সংখ্যা।
∴ যেকোন বিজোড় পূর্ণসংখ্যার বর্গ একটি বিজোড় সংখ্যা।
খ) প্রমাণ কর যে, দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার গুণফল (আট) দ্বারা বিভাজ্য।
সমাধানঃ
তাহলে, 2a(2a+2)
=4a2+4a
=4a(a+1)
এখানে, a ও (a+1) দুইটি ক্রমিক সংখ্যা, সুতরাং এদের যে কোনো একটি অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে।
সুতরাং, a(a+1), 2 দ্বারা বিভাজ্য।
অতএব, 4a(a+1), 2✕4=8 দ্বারা বিভাজ্য।
১২. আবৃত দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।
(ক) 1/6 |
|
6) 10 6
40 36 40 36 40 36 4 |
( 0.16666… |
.
0.16 হলো নির্ণেয় আবৃত দশমিক ভগ্নাংশ।
|
|
(খ) 7/11 |
|
11) 70 66
40 33 70 66 40 33 70 66 4 |
( 0.63636… |
. .
0.63
হলো নির্ণেয় আবৃত দশমিক ভগ্নাংশ।
|
|
(গ) |
2 3—
9
|
= |
29 9
|
9) 29 27
20 18 20 18 20 18 2 |
(3.222… |
.
3.2
হলো নির্ণেয় আবৃত দশমিক ভগ্নাংশ।
|
|
(ঘ) |
8 3—
15
|
= |
53 15
|
15) 53 45
80 75 50 45 50 45 50 45 5 |
(3.5333… |
. .
3.53
হলো নির্ণেয় আবৃত দশমিক ভগ্নাংশ।
|
১৩. সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করঃ
অর্ডিনারি আইটির নীতিমালা মেনে কমেন্ট করুন। প্রতিটি কমেন্ট রিভিউ করা হয়।
comment url