স্বাভাবিক সংখ্যা কি?দেখাও যে, প্রদত্ত সংখ্যার বর্গ একটি বিজোড় সংখ্যা

1) n একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা হলে, n=2x−1,

    যেখানে x∈N

ক) স্বাভাবিক সংখ্যা কি?

খ) দেখাও যে, প্রদত্ত সংখ্যার বর্গ একটি বিজোড় সংখ্যা।

গ) দেখাও যে, প্রদত্ত সংখ্যার বর্গকে 8

দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ভাগশেষ 1

হবে।

সমাধানঃ

ক) সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলে। স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো সাধারণত গণনাকারী সংখ্যা। 1,2,3,4,....

ইত্যাদি সংখ্যাগুলোকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলে। স্বাভাবিক সংখ্যার সেটকে N দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
∴N={1,2,3,4,....}

খ) উদ্দীপকের অনুসারে,
n একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা হলে, n=2x−1, [ যেখানে x∈N ]
বিজোড় সংখ্যার বর্গ =n2
তাহলে, (2x−1) এর বর্গ =(2x−1)2
=(2x)2−2.2x.1+12
=4x2−4x+1
=4x(x−1)+1
=2×2x(x−1)+1

যেহেতু, x ও (x−1) দুইটি ক্রমিক সংখ্যা। সুতরাং, এদের মধ্যে একটি জোড় সংখ্যা হবেই।
∴2×2x(x−1) সংখ্যাটি জোড় সংখ্যা।
ফলে, 2×2x(x−1)+1 সংখ্যাটি বিজোড় সংখ্যা।
অর্থাৎ, বিজোড় পূর্ণ সংখ্যার বর্গ একটি বিজোড় সংখ্যা।
(দেখানো হলো)

গ) উদ্দীপকের অনুসারে,
n একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা হলে, n=2x−1, যেখানে x∈N.
এখানে, n=2x−1
বা, n2=(2x−1)2 {[ বর্গ করে ]}
=(2x)2−2.2x.1+12
=4x2−4x+1
=4x(x−1)+1

∴x ও (x−1) দুইটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা হওয়ায় এদের মধ্যে একটি জোড় সংখ্যা হবেই।
∴x(x−1), সংখ্যাটি 2 দ্বারা বিভাজ্য এবং 4x(x−1) সংখ্যাটি 4×2 বা 8 দ্বারা বিভাজ্য।
∴4x(x−1)+1 সংখ্যাটিকে 8 দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ভাগশেষ 1 থাকবে।
   অর্থাৎ, প্রদত্ত সংখ্যার বর্গকে 8 দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ভাগশেষ 1 হবে।
   (দেখানো হলো)